《数学简史：确定性的消失》是一本由[美]莫里斯·克莱因著作，中信出版集团出版的平装图书，本书定价：78.00，页数：464，特精心从网络上整理的一些读者的读后感，希望对大家能有帮助。
●要是有时间轴就更好了！很棒的书，浅浅地了解了一下数学史，昂。 19世纪初，创造了几何学和代数学 19世纪下半叶，数学的严密化运动 超级推荐，看完就能明白为什么政治课本总是从古希腊的时候开始讲解 希腊人思想的最大胜利是他们认为宇宙是按可为人类思维所能理解的数学规律运行的。 超级推荐，看完就能激发更多对自然的兴趣。买买买的快乐其实可能比不上科学家的快乐。 “谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓，长流不息的自然的根源包含其中” 推理是数学成功之处，也是失败之处
●可能我对这种介绍学科历史的书，真的感觉很枯燥。加上他翻译让我理解也很费劲。三分给原著吧。知识面还是广
●读这本书我感受到的是：认知的撕扯；心灵的震撼；智力的饥饿；感官的极度愉悦。
●后半部分看不懂了。。
《数学简史：确定性的消失》读后感(一)：论数学的理与用
总的来说，这是一本哲学书而不是通常意义上的数学书。它无法让你的高等数学拿高分，也无法教会你傅立叶变换，但是它的内容可以让你在几十年时间里重复回味，它会让你思考数学最本质的内涵。
通过读这本书，我终于明白罗素《数学原理》想探究的领域，以及催生这一恢弘巨著的时代大背景，这也是大家对罗素头衔的定义里，哲学家优先于数学家的原因。
书中由浅入深，推导出数学们思考的数学终极问题，即一阶谓词逻辑系统的相容性问题。数学是以公理为基础来研究事物正确性的一门学科。数学对公理的要求是，具有相容性、完备性、独立性。相容性指的是，公理之间彼此无矛盾；完备性指的是，由这个公理系统提出的所有问题都可以被这个公理系统所解决；独立性指的是，公理彼此之间无推出关系。这恰恰是希尔伯特在1900年世纪演说里提到的第2个问题，并且“我们必须知道，我们必将知道”。
但是哥德尔的不完备定理证明了，在一阶谓词逻辑系统下，一个公理系统的相容性无法由这个公理系统本身证明。
什么意思呢？也就是说，我们现在仍然不知道我们建立起来的数学基础，到底他们是不是无矛盾的。这就是书中提到的，数学确定性的消失。在得到这个结论之后，所有的数学家都开始迷失。所有这些，都在第13章进行揭晓，非常的精彩，一定要仔细读一读，所有之前的叙述，都是在为这一章服务。
但是，数学这种确定性的消失，并不会给希尔伯特的名言“我们必须知道，我们必将知道”抹上任何黑暗的色彩，恰恰相反，正是这句韵律无比和谐、内涵丰富的句子，促使我们探索着一个一个不确定性的问题。正是这句话，反正变成了我们探索自然科学的动力源泉，因为它反映出了人类心底最深处的声音。
这书额外带给我的，是更加坚信直觉在科学研究工作中的重要性，直觉是科学研究最好的朋友。不能为了数学而数学，数学的发展离不开解决实际的物理和工程问题，而在这一过程中，直觉需要起到很重要的作用，不能太过于拘泥形式上的证明，换句话，靠直觉出来的“猜想”，对世界的贡献，远比“证明猜想”带来的意义要大。
以后计算机学科也有可能会走入数学这样的境地，大量的计算机科学家，关起门来解决自己的理论与算法问题，丝毫不关心计算机应用技术的解决；而与此同时，大量行业的计算机工程师们，却在无所不用其及地压榨计算机的每一分能力，突破其计算本质。
额外多说一句，本书的作者莫里斯·克莱因，可是大名鼎鼎的《古今数学思想》作者。作者本人就是应用数学家，所以他在书中，不太认可“纯数学”的观点，就非常合理。在我看来也是这样，数学一定要解决实际的问题，要从物理世界抽象问题出来研究。我自己也同样认为罗素先生的《数学原理》虽然是恢弘巨著，但是还是过于无聊了一点。
强烈推荐给每位学过大学数学课程并且还在从事科技工作的人读一读！
：非常可惜的是，书中没有对统计学这个最近几百年新兴起来的科学，作更多的笔墨。
《数学简史：确定性的消失》读后感(二)：颠覆认知的一本神作
我终于看完了这本书，《数学简史》豆瓣9.2，名副其实。关于这本书，我有好多感悟。 作为一个一直觉得数学是人生最大遗憾的人来说，在我看各种高新科技的过程中，我最想做的一件事就是跟着高中生，重新学一遍高中，大学的数学。因为不懂这个的话，一个人认知的天花板，就是现有已发现的物理法则，根本无法超越。 这本书并不是告诉你数学有多神圣的书，反而是告诉你数学面临多严重的危机，以及危机产生的原理和过程的神作。要想理解这个危机，你需要搞懂我下面说的这个事实。 在我看《世界观》这本书的时候，在描述物理与数学之间关系的时候，它有一段非常精彩的论述，大致意思是，我们用数学公式来表达物理现象，这件事持续了几千年 久而久之，在人类的头脑中，物理就变成了数学，而这恰恰是悲剧的开始。我们都知道量子物理是一个让人很困惑的学科，一个东西怎么可能即是A又是B？原因就在这个悲剧上。我们用二元一次方程，来计算和模拟物体下落的速度，位移与时间的关系，因为它的正确性，让我们就认为这个二元一次方程就是自由落体的本质。所以，当我们用波函数来描述量子物理的时候，这个函数所表达的有关概率的数学实质，就自然而然的变成了数学世界中量子物理的本质。因此，物质当然有可能即是A又是B，因为概率本身就包含了这些可能性。那么这就是数学无法合理描述真实物理法则的根本症结。 你如果能理解这个例子，我们再继续说。数学的危机出现于欧几几何，在欧几里得几何中，有几大公理，所谓公理你可以简单理解为世界就是这样子不证自明的东西。比如，你如何证明一块石头是一块石头？累死这种。欧几几何前几大假设都没问题，出问题的是关于平行的公理。我们传统意义上觉得，二维世界里，永不相交的直线就是平行的。这里就引入了一个无限延伸的概念，而数学里左右的危机，几乎都跟“无限”二字有关。那么我们可以假设，两根直线不是180度，按照欧几几何的定义，它们固然就不是平行的。但它们什么时候相交？是否也存在一个无限延伸的极限，让他们永远相交不起来，只要角度无限接近但不等于180度，那么永远有一个它达不到的极限，让这两条不“平行”的直线，永不相交？这就是数学帝国崩塌的根源。因此诞生了非欧几何等一系列我个人称之为“思想数学”的新数学。在非欧几何诞生后，数学界就再无宁日了……一直至今。 这件事之所以意义重大 原因是它颠覆了我们看待世界的方式，你脑海中的一根直线的概念，源自于你在现实世界所理解的空间。因为地球特别大，宇宙特别大，所以你完全可以设想一根直线的概念，就是永不弯折没有尽头的。但如果存在一个超宇宙人，那么他会认为地球人对直线的概念是无比可笑的，因为没准整个宇宙在他眼里就是一粒弹球（《黑衣人I》的片尾）。所以意识到这一点，数学家们慌了，它颠覆了人类理性思考，靠逻辑和演绎追寻真理的根基。因为你根本无法确定，这样理解世界并推演，是不是一条正确的道路。 换言之，随着我们发现一个又一个的物理真相，我们的数学从根本上就出现了错误。一如爱因斯坦告诉牛顿：你错了。 这是我觉得这本书最深刻的一点。
《数学简史：确定性的消失》读后感(三)：迷人的数学史：那些消失的确定性
莫里斯·克莱因（1908-1992）是美国著名的应用数学家、数学史学家、数学哲学家和教育家。《数学简史：确定性的丧失》是其经典代表作，不仅在20世纪的科学界，而且在整个文化界都颇有影响。
在《数学简史》的序言扉页，克莱因引用了亨利·庞加莱的名言：“要预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。”这段题词也出现在克莱因另一部代表作《古今数学思想》的序言，因为这句话正好体现了克莱因的核心思想。《数学简史》就是秉持着这样的原则，从古希腊的毕达哥拉斯派讲起，溯流而下，根据历史的线索一直到达20世纪晚期。有人把克莱因称为科学哲学中标准的历史主义学派代表，确有道理。
早在结绳记事的时代，人们就学会了“数”。不过，数成为数学，在西方，是从古希腊开始的。早期的数学并不像我们今天那样枯燥，似乎就是一大堆的符号、公式和定理。面对混乱、反复无常的大自然，希腊的哲人们在追问：宇宙的运转是有计划的吗？植物、动物、人类、星系、光和声，它们是不是某个完美设计的一部分？亚里士多德、柏拉图、欧几里得、阿基米德等纷纷投身于数学研究，在很大程度上，数学也和古希腊的逻辑学、天文学、地理学、光学、力学等交织在一起，由于希腊人强大的好奇心，希腊成为了西方文明的源头。
古希腊人认为，数学实质上存在于宇宙万物，它是关于自然界结构的真理，或者如柏拉图所说，是物质世界的客观存在。宇宙存在规律和秩序，数学是达到这种秩序的关键，人类理性可以洞察这个设计并且揭示其数学结构。物质世界转瞬即逝，只有理念才是永恒。天文学家开普勒说：“对外部世界进行研究的目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学的语言透露给我们的。”开普勒、笛卡尔、伽利略以及牛顿的数学研究，主要目的都是为了揭示上帝的自然设计的真相，他们信奉数学的真理性，然而，这些伟大的科学家在研究中渐渐怀疑：上帝这位“钟表匠”是否是“盲眼”的呢？
数学确定性丧失的过程，是一个历史渐变的过程。数学思想和研究的发展是由汇聚不同方面的成果，点滴积累而成的，有时需要几代人、数百年的努力才能迈出有意义的一点进步。帕斯卡说：“当我们援引作者时，我们是援引他们的证明，不是援引他们的姓名。”克莱因很欣赏这句话，他对数学课题的研究、数学思想的研究要远远超过对数学家个人的讲述，他希望梳理每一次数学发展或者危机的前因后果，这也是他孜孜不倦进行数学教育的一种愿望。
数学确定性的丧失，经历了几次冲击：1.非欧几何和四元数理论的出现使人们认识到，外部物质世界并非必须遵循数学定律；2无理数、负数、复数等不合逻辑的发展，让代数不得不独立于几何而存在；3.牛顿和莱布尼茨的微积分研究和建立在微积分基础上的其他分析分支的逻辑，让数学处于一种混乱的状态；4.人们决定重建数的逻辑结构，极限的思想和一系列数学理论分析的严密化，似乎解除了部分危机，然而很快的，集合论里出现了悖论，再次挑战数学的基础；5.为了重建数学基础和解决数学的矛盾，人们试图从四个方面（集合论的公理化、逻辑主义、直观主义和形式主义）对基础的根本问题作出解答，这个时期被克莱因形容为“战国时代”，可惜谁也无法提供一个可以普遍接受的途径。不仅如此，1931年哥德尔的不完全性定理再一次让数学回到了孤立无援的境地。
那么，数学该向何处去？克莱因态度明确：数学自命为真理的认识已经是必须抛弃的，但人们并不需要为此悲观。克莱因列举约翰·密尔、罗素、波普尔等人的发言去阐释，数学家并不像古典所认为的那样依赖于严密的证明，创造的意义超过任何形式化，直觉甚至比逻辑更有创造力。过去百年最伟大的科学创造比如电磁学理论、相对论和量子力学，它们都广泛地运用了现代数学。20世纪数学的发展反而获得了一种自由，数学在描述和探索物理现象、社会现象时的作用前所未有地扩大了。而不管何时，数学对于音乐、绘画、诗歌、美学、语言等方面的影响，都是人类思想可以达到何等成就的有力证明。
而我以为，数学史所展示的最有趣之处，可能就在于，数学正是以它的自我揭发矛盾、自我解决矛盾而得到进步的，这样一种不确定性非常迷人。
《数学简史：确定性的消失》读后感(四)：挣脱确定性的枷锁，数学获得了自由
本文转载于公众号“赛先生”
正如烹饪一样，高级餐厅的摆盘再精致，后厨难免一地鸡毛。现成的数学理论如水晶般无瑕，但数学家发展这些理论的过程又是如何呢？
撰文 | 方弦（组合数学博士、科学松鼠会会员）
编辑 | 一块肉饼
1758年圣诞节，德国的一位业余天文学家帕利奇发现，天上出现了一颗彗星。
对于天文学家来说，彗星并不陌生。早在公元前613年，我国的天文学家就见过彗星，并在《春秋》中留下了记录：“秋七月，有星孛入于北斗”。这种天体拖着长长的尾巴，在天空中格外显眼。但在古人眼中，这种不知何时而来的怪异星体，显然是灾祸的预兆。
直到1705年，英国天文学家哈雷在研究天体的引力影响时，在故纸堆中发现1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星似乎拥有同样的轨道。他猜想它们应该是同一颗彗星。他预测，这颗彗星应该会在1758年左右回归。帕利奇观察到的，正是这次回归。至此，彗星不再是神秘的预兆，而是如约而至的自然现象。
而让哈雷能正确做出预测的，正是牛顿的万有引力理论，还有他和莱布尼兹当时正在发展的微积分。
一窥数学的“后厨”
数学发展到现在，已经深入了各个学科。除了物理、化学等自然科学，经济学、心理学等社会科学为了得到更为精确的结论，用到的数学也越来越多。哈雷彗星的预测当年被认为准确得近乎神迹，但现在各行各业中，这样的预测简直稀松平常。通过数学的计算，科学家解开了宇宙的奥秘，工程师设计了精巧的结构。数学计算的结果，与应用若合符节，给人们留下了“数学即精准”的印象。
但正如烹饪一样，高级餐厅的摆盘再精致，后厨难免一地鸡毛。现成的数学理论如水晶般无瑕，但数学家发展这些理论的过程又是如何呢？数学史专家克莱因的这本经典名著《数学简史：确定性的消失》，就让我们有了一窥数学“后厨”的机会。让我们能看到，在发展为当今严密精确的理论之前，数学所经历过的模糊与混乱。在克莱因眼中，作为描述这个世界最确定无误的数学体系，在经历过三次危机之后，就彻底失去了它的确定性。
三次数学危机
第一次危机发生在几何领域。建基于公理与逻辑的欧几里得几何，两千年颠扑不破的历史被非欧几何的发现所打断。人们至此发现，几何不止一种，而这个世界也没有理由只能用欧氏几何来描述。与此同时，第二次危机在代数中酝酿着。当时代数的顶峰微积分虽然实用，但逻辑体系模糊至极，“无穷小量”这一概念更是遭人诟病。牛顿和莱布尼兹在17世纪开拓的微积分体系，要到19世纪才打好严密的根基。在两次危机之后，数学家终于开始正视数学的严密性，希望用更精确的逻辑建筑数学大厦，保证它的稳固。
然而，第三次危机就此袭来。对于应否接受康托尔“无穷之后仍有无穷”的概念，数学家之间的争论逐渐上升到了数学基础应归于何处的论战，出现了数个不同的学派。其中有主张“数学就是思维构造产物”的直觉主义，他们认为人类直觉不能把握实在无穷，而将其拒诸门外；有主张“数学可以完全化归为逻辑”的逻辑主义；还有主张“数学不过是符号游戏”的形式主义，其中符号代表什么其实并不重要。
然而，这三个派别都分别碰到了各自的难题：直觉主义拒绝了太多的数学，就连领军人物也不愿意只在这个框架下继续研究；逻辑主义的带头人弗雷格用逻辑为许多数学分支搭建了架构，但却被罗素悖论一下子摧毁了；希尔伯特提出了形式主义的纲领，将一切数学化归为算术，希望通过证明算术没有矛盾来证明数学中不可能出现矛盾，但哥德尔的不完备性定理打碎了这一梦想。哥德尔证明，只要形式系统内包含完整的算术体系，就不可能在系统内部证明自身不会出现矛盾。也就是说，希尔伯特的梦想不可能实现。
但数学基础总要有个共识。现今，大部分数学家都将所谓的策梅洛-弗兰克公理集合论当作几乎所有数学的基础，它延续了形式主义和逻辑主义的某些方法论。虽然其中大部分公理在直观上无可辩驳，但也有一些公理，比如说选择公理，还有一些争议。对于克莱因来说，这就是数学确定性的终结：选择什么公理体系并没有确定的标准，所以数学并没有一个客观的基础。他认为，自此之后数学就走进了为抽象而抽象的误区，唯一留存坚实基础的，只剩下直接锚定于客观现实的应用数学。
“数学丧失了确定性”这个视角似乎非常灰暗，但真的如此吗？
结构主义
克莱因本人作为数学史的专家，在讲述三次数学危机时条分缕析，准确描述了数学从经验到严密的发展轨迹。然而，他在描述第三次数学危机后的现代数学时，却忽视了最汹涌也最富有影响力的思潮——结构主义。布尔巴基学派是结构主义的领军人物，但克莱因仅寥寥提到他们几次，而且并没有详述他们的数学基础观点。然而那正是现代许多数学家对数学基础的看法，也是数学家仍对数学前景十分乐观的原因之一。
一言以蔽之，结构主义认为，数学就是研究抽象结构及其之间关系的学科。
什么是抽象结构？要理解这一点，我们要先破除根深蒂固的信念，用完全抽象的眼光看数学。举个例子，从小老师就教我们，自然数是可以数出来的数，每个自然数上都附有不同的性质。人们会说，“4”就是一个合数，这就是它自己的性质，与别的数没有关系。
但真的是这样吗？为什么我们会说“4”是合数？那是因为有一个比它小但不是1的自然数“2”可以整除它。也就是说，我们在意的“4是合数”这个性质，实际上反映的是其他自然数和它之间的关系。换句话说，“4”这个数并不重要，重要的是它与其他数有什么关系。“4”只是一个方便我们称呼的标签，但它的内涵并不是这个标签，而是标签背后没有任何特殊之处的实体，以及它与其他实体之间的关系。如果撇除一切关系的话，每一个数除了标签不同都无法区分。每个数之所以不一样，是因为它们跟其他数有着各异的关系网络。
这种看法，在其他更复杂的数学中也适用。我们讨论某个数学对象，实际上讨论的是它与其他数学对象的关系。而如果将拥有特定关系的数学对象聚成一组，我们就得到了一个数学结构。比如说，所有整数再加上它们之间加法和乘法的关系，就组成了一个叫做“整数环”的数学结构。数学结构本身又可以作为数学对象，与其他数学结构一起形成更高阶的数学结构。不同的数学结构还可以出现在同一组数学对象上，比如说整数除了有整数环这个代数结构以外，还有所谓的“序结构”，让我们可以比较整数之间的大小。由此，不同的数学结构之间也就产生了更多的联系。数学的任务，就是研究这样层层叠叠、互相勾连的数学结构。
那么，数学是如何研究这些结构的呢？我们当然可以深入研究每个结构的性质，就像欧氏几何实际上研究的就是平面这个数学结构；也可以比较相似的结构，找出它们的共性；还可以研究结构的某个性质到底来源于结构的什么方面，尝试将相似的性质推广到相似的结构上。这些方向分别对应着克莱因所说的：数学的专门化、抽象化和一般化。
但除了克莱因所说的这三个方向以外，还有更重要的方向，就是尝试在结构中寻找新的结构，和寻找迥然相异的结构之间的联系。可以说，近现代大部分的数学突破都可以归于这个类别。名噪一时的庞加莱猜想的证明，正是源于佩雷尔曼确认了三维流形这个拓扑结构与它上面某些微分结构之间的关系。而陶哲轩之所以被认为是大数学家，也是因为他巧妙地发现了组合、数论、代数这些领域中林林总总看似毫不相干的结构之间的紧密联系，由此得以利用不同领域的方法来解决难题。
这种结构主义的观点也为数学家们带来了莫大的自由。非欧几何的出现，使数学家明白了几何不止一种。新几何的探索就开始了，涌现出了微分几何甚至代数几何这些如今枝繁叶茂的分支，而欧氏几何本身几乎走到了发展的尽头。同样，摆脱了“必须描述现实世界”的束缚，现代数学才焕发出全新的活力。数学家构造新结构的灵感来源，除了现实以外，还多出了类比和想象，由此产生的新结构，更是层出不穷。
当然，这种自由并不意味着与现实脱节。现实如此复杂，其中暗藏的结构至今仍未被揭示于万一。现代数学的自由发展也催生了对各种各样结构的探索，其中有一些看似无比抽象的结构，却与现实有着紧密的关联。最近，法国青年数学家皮埃尔-路易·吉斯卡尔在研究图上的路径时，发现这些路径之间的关系与整数有相似之处。通过这个类比，他将数论中的筛法应用到路径的计数上，得到了不少成果，甚至解决了量子化学中的一些问题。被克莱因认为与现实最脱节的数论，却能找到最实际的应用。就连抽象至极的数理逻辑，随着计算机的出现，也在编程语言设计中找到了一席之地。所有这些应用，都是因为我们找到了现实中的数学结构。
现实方方面面的结构是什么，我们一时无法摸清。但正因为现代数学的自由，数学家可以研究更抽象更一般化的结构。而一旦我们发现现实的某个侧面有着已经研究过的结构，就能立刻应用相应的结论。数学结构中最重要的是关系。至于标签是什么，是整数还是顶点又或者是分子，根本无关紧要。
正因为数学结构什么都不是，所以它可以什么都是。这就是数学的力量。
如果存在矛盾……
人们可能会说，克莱因指出的问题仍然存在，数学仍然没有一个在逻辑上甚至在形而上学上确定无误的基础。目前数学界接受公理集合论，也只是一个共识，但却无法证明其中没有矛盾。危机的可能性仍然存在。
哥德尔不完备性定理告诉我们，无法证明算术以至于数学没有矛盾。但这个结论的前提是算术本身没有矛盾。而按目前枝繁叶茂的发展，如果数学本身有矛盾，很难想象到现在为止还没有数学家发现。的确我们无法证明没有矛盾，但实践说明矛盾非常不可能存在。这并不能完全排除矛盾的可能性，但将它降低到了一个可以让大部分数学家安心工作的地步。
如果抬杠的话，要是有一天人们发现现代数学的基础——策梅洛-弗兰克公理体系——之中的确存在矛盾，那怎么办？
让我们回到结构主义的理念：在数学中，重要的是结构，而所谓逻辑证明、公理体系，都只是描述这些结构的一种方法。结构本身是没有矛盾的，它就这样存在着。如果我们发现描述它的公理体系出现了矛盾，那是因为描述的方式不正确，而不是因为结构本身有矛盾。公理和证明是我们用以探索数学结构不可或缺的工具，但不是数学的基础。“言者所以在意，得意而忘言。”工具坏了，换一套就可以继续工作；公理系统出问题了，也只需要换一套，把有问题的地方排除掉。目前对数理逻辑的研究，也为这种更换提供了可能性。
毕竟我们研究的是数学，而不是单纯的符号推演。在符号以外，还有我们希望把握的意义。
无尽的创造性
但哥德尔不完备性定理仍然没有排除矛盾的可能性，这不会让数学家如芒在背吗？
正如失去确定性给数学带来了自由，矛盾的可能性实际上赋予了数学无尽的创造性。
对哥德尔不完备性定理更根本的理解是，只要公理体系的表达能力足够强大，那么在其中的真理不等于被证明。这应该被视为公理体系力量的显现，而非弱点。但真理的反面同样不一定能被否定。为了厘清什么命题不能在某个公理体系中确定真假，数学家提出了许多方法，大大发展了数理逻辑。独立于公理体系的命题，也给数学提供了更多的可能性：我们可以将这些命题或者它的反面添加到公理体系中，得到更强大的系统。但即使如此，这些加强过的公理体系仍然有着不能被证明的真理，从而可以继续在不同的方向上加强。这就是矛盾带来的创造性。与之相反，数学家也可以削弱某个公理体系中的公理，从而得到表达能力更弱但更确定的公理体系。许多数学分支其实不需要过于强大的公理体系，研究每个分支实际上需要什么强度的公理体系，这有助于我们更好地理解不同分支的本性。
除了矛盾的存在性以外，克莱因也将许多数理逻辑的结论阐述为数学本身的缺陷。比如说现在本科数理逻辑课上会提到的勒文海姆-斯科伦定理，它证明了任何一阶逻辑的公理体系都有无数的模型，也就是说无法用一阶逻辑完整地刻画某个给定的结构。但在克莱因的眼中，这就成了数学的缺陷，说明公理化方法不可能唯一刻画某个结构。这种理解显然有问题，因为逻辑并不止一阶逻辑一种。比如说自然数，如果利用二阶逻辑的话，就有对应的公理体系可以唯一决定自然数的结构。当然，二阶逻辑也有它的缺点，数学家对其也有争议，但毕竟说明了自然数结构可以用公理化方法刻画。克莱因的批评也就不成立了。更合理的理解是，这些数理逻辑的结论指出的是公理体系的特性，而不是公理体系所描述的数学的缺陷。
就像汉语的时态没有法语精细，这并不说明时间在中国的流动就比在法国模糊。
终极自由
克莱因的观点与现代数学界的观点的相互冲突，让我们想起人类对自身本质的探求。
克莱因希望为数学找到坚实的基础，对他而言那就是与现实的联系，所以他对数学危机深感不安，因为他认为每一次数学危机，都使数学一点点地从现实剥离，最后成为现在的“空中楼阁”。
现代数学界的看法却乐观得多。他们认为，经过每一次数学危机，数学本身都有所得益。先是发现了数学系统并非唯一，然后是掌握了严谨的推理方法，最后得到了超越逻辑本身的视角。对他们而言，越抽象反而越坚实。正因为什么都不是，所以可以什么都是。
这其实也是人类发展的缩影。
古时候人们认为大地是不动的磐石，是宇宙本身。古希腊人首先否定了这个臆想，确立了大地是个球体。但后来人们又认为地球是宇宙的中心，一切星体都围着它转动。哥白尼打破了这个迷思，提出太阳才是中心，也因此遭受迫害。随着天文学不断发展，人们才逐渐认识到，太阳不过是众多恒星中的一颗，并非宇宙中心。而太阳所处的银河系以外，还有无数个星系，银河系并没有任何特殊之处。随着我们对宇宙认识的加深，人类在宇宙中的地位也被逐步废黜。我们不过是星尘。
古时候人们面对自然无能为力，只能将自己的存在的意义交给神仙和上帝，因为无所不能的上帝似乎正是存在意义的坚实基础。直到自然科学的出现，让人们可以在自然面前逐步把握自己的命运，这也逐步动摇了宗教的根基。人们逐渐意识到，存在意义的坚实基础不过是幻梦。先有尼采喊出“上帝已死”，后有萨特明示“存在先于本质”，而人的本质由人的存在与选择所决定。人类就此从上帝夺回决定自身意义的权柄。对于宗教信徒来说，这些可恶的哲学家动摇了人类存在的根基。但对于清醒的人来说，这种丧失其实就意味着终极的自由：你存在的意义就是你自身，你成为什么样的人，取决于你想成为什么样的人。
这也就是数学发展的轨迹。对克莱因来说，数学丧失了确定性这一基础；但对于现代数学来说，这种所谓“基础”，不过是对自由的限制。
数学失去的只是枷锁，获得的却是描绘任何事物的终极自由。
《数学简史：确定性的消失》读后感(五)：莫里斯·克莱因：数学的概念、新数学运动以及上帝
以下采访是1981年Omni前执行主编弗兰克·肯迪格在克莱因教授位于纽约大学的办公室里进行的。
文章转载于公众号“哲学园”
OMNI：你的新书非常受欢迎，尽管它的主题很复杂。你认为这本书的成功和它的副标题“确定性的消失”有关系吗？
克莱因：是的，我当时给了牛津大学出版社好几个参考，他们很果断地采用了“确定性的消失”作为副书名。这个选择的考虑之一是我们如今已经进入一个新文化的时代，那个崇拜理性的时代——认为我们可以通过数学来发现科学、自然、政治和经济体系的真理——已然成为历史。因此，“确定性的消失”对于今天这个时代而言特别贴切。
莫里斯·克莱因（Morris Kline，1908-1992），数学史大家、数学哲学家，他不仅以数学史研究闻名于世，而且在20世纪下半叶的数学课程教育改革中发挥了重要的作用。OMNI：“确定性的消失”对我们而言从何说起呢？
克莱因：数学起源于希腊。虽然在希腊人之前也有人关心数学，但不幸的是，关于这些人的早期文献很少。希腊人相信宇宙是按照数学设计的。例如柏拉图会说，即便没有人类，数学也会存在。亚里士多德不同，他认为人有必要把数学从物理现实中抽象出来。但两人都认为数学本身就是真理。
OMNI：在这种观念里，上帝的作用是什么？
克莱因：希腊人相信上帝——罗马人也相信上帝，叫法不同——但认为上帝在数学与自然的关系中并不发挥作用。认为上帝和数学相关的信念出现在中世纪的欧洲，并一直延续到了文艺复兴时期，然后是17和18世纪。这种信念认为上帝设计了宇宙——数学化的宇宙。这种信念在伽利略、牛顿和笛卡尔身上都很强烈。这些人并不完全认同物理的法则，但却一致认为上帝是按照数学的方法设计宇宙的，且只要人们足够努力地去探索，就能发现这些数学规律。
OMNI：如果宇宙是按照数学法则构成的，那么掌握数学是否就意味着能够了解过去并预测未来？
克莱因：是的。有一个很有名的说法，大致的意思是说，如果你知道所有的数学定律和初始的条件，比如物体的初始速度，那么你就能够预测未来。
OMNI：那就意味着用不着上帝喽？
克莱因：这个问题大家意见不一。有的哲学家认为，上帝所做的事情早在一开始就做完了。而有的哲学家则认为，上帝可以在任何时候干预这个世界，或者改变这个世界的结构。
OMNI：就如牛顿的钟表匠。（这里是一个梗，牛顿曾预言航海中的时间问题不可解决，但这一说法后来被一个钟表匠推翻。这就说明上帝在干预世界。）
克莱因：嗯。牛顿说，上帝必须介入，以便让世界按照计划运转。不过，明确表达这一观点的是莱布尼茨，他认为上帝可以在任何时候改变世界的设计。希腊数学家和基督教数学家所持的观点也大致如此：前者说宇宙呈现出数学的结构，后者说是上帝创造了数学。
OMNI：那么确定性的消失是从什么时候开始的呢？我们究竟是在哪里出了错？
克莱因：数学确定性的消失开始于1800年，问题出在几何学。我通常喜欢引用马克·吐温的一句话，他说，人类是真正的宗教动物，是唯一一种能够信仰一种或几种宗教的动物。这句话放在几何学身上也是适用的。
我们一般把起源于希腊的几何学称作欧式几何，以欧几里得命名。但在19世纪初，其他几何——非欧几何——突然发展起来了。非欧几何的兴起究竟是谁的功劳？这一点历史学家有争论，但我认为是高斯，他曾直截了当地表明，我们再也无法相信欧式几何能够正确地描述这个物理世界了。各种几何理论之间是不相兼容的，而根据我们几千年的传统来看，其中必有一种应该是正确的。这就是问题所在。
高斯（1777.4.30——1855.2.23）， 德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，被认为是历史上最重要的数学家之一，并有“数学王子”的美誉OMNI：您能举一个其他几何理论的例子吗？
克莱因：在欧式几何中，三角形内角之和是180度；在双曲几何中，三角形内角和小于180度；在双椭圆非欧几何中，三角形内角和大于180度。然而，就人类能够测量的三角形的内角和而言，所有这些理论都是同样正确的。
OMNI：您的意思是说，这些几何理论在土地测量上也都是同样有效的？
克莱因：是的。高斯认为，三角形越大，其内角和越是偏离180度。你刚刚说的只是小三角形的情形，因此内角和的偏差几乎不可测量。高斯预测，如果我们研究一个非常大的三角形，比如由地球、太阳和木星组成的三角形，这种偏差就会很明显。可惜高斯没有相关的数据，19世纪的时候没人有这方面的数据，但是高斯认为我们必须考虑这种可能性。
OMNI：当几何学陷入低谷之后，数学家们都是如何回应的呢？
克莱因：许多数学家试图挽救或维护数学中以算术为基础的那部分。到1850年，算术对科学的影响比几何深远而又广泛。不幸的是，其他令人震惊的事件接踵而至：算术和代数成了下一个被真理抛弃的学科。关于这一点最好的例子是伟大的数学物理学家哈密顿在1843年提出的四元数。在四元数中，乘法交换律是无效的。换句话说，在四元数中，我不能说3乘以4等于4乘以3。此外，其他各种代数也纷纷出现。这就使得人们开始担心普通算术的规律。如果一种合理的代数不适用于我们熟悉的法则，那么它还能否适用于实数系呢？一位名叫赫尔曼·冯·赫姆霍尔兹的数学家站了出来，承认我们确实无法知道这一点：代数法则在有些情况下成立，但不适用于所有情况。
威廉·哈密顿（1821年8月31日－1894年9月8日），爱尔兰数学家、物理学家及天文学家。哈密顿最大的成就或许在于重新表述了牛顿力学，创立被称为哈密顿力学的力学表述。他的成果后在量子力学的发展中起到核心作用。OMNI：这种代数有什么例子么？比如在什么情况下，2+2=6，或者，在什么情况下，5乘以7等于35，但是7乘以5却是34呢？
克莱因：我能想到几个例子。取1夸脱40℃的水和1夸脱50℃的水混合，能得到2夸脱90℃的水吗？不会，你可能得到的是2夸脱45℃的水。因此，不能简单地把40和50相加，然后得到90，这取决于实际的情况。再举一个音乐的例子：一个频率为100Hz和另一个频率为200Hz的单音叠加，得到的并不是频率300Hz的单音，事实上合成音的频率还是100Hz。
OMNI：所以说，代数和算术算是步了几何的后尘。那数学家们后来革新了吗？
克莱因：是的。在19世纪，数学家们终于认识到，数学不一定是关于物理世界的真理。但他们依然相信数学本身是正确的、健全的、符合逻辑的。在之后的数学公理化运动中，人们发现了以往论证中的错误，并予以纠正。到了1900年，数学家们自认为数学取得了一个奇妙的、完美的、符合逻辑的推进。但数学与现实的关系问题依然悬而未决。1900年之后，人们在数学中发现了自身的矛盾：一个完备的逻辑体系却在数学的所有分支中都引发了矛盾。这简直不能忍。如果数学不是一个完备的推理体系，如果数学的分支中存在漏洞，那么你几乎可以证明任何事情。（译者注：根据实质蕴涵的规律，你可以从任何错误的命题出发，逻辑地证明所有命题。这也就反过来意味着，所有的证明都失效了。）罗素在这方面很有贡献。
OMNI：所以，数学家们再一次革新了？
克莱因：是的，他们这次分成了四个阵营，共同消除数学中的逻辑矛盾，以便挽救数学的基础。
OMNI：这就是所谓的一致性的问题吗？您可否解释一下一致性和完备性，我觉得这些都是很重要的概念吧。
克莱因：一致性意味着在数学的任何一个分支中都不应该存在矛盾，任何矛盾都不可能出现。这就引出了哥德尔在1931年的论文。如果哥德尔的证明是正确的——似乎的确如此——那么我们就永远无法在数学的任一分支里建立起一致性。完备性不涉及矛盾的问题，如果一个数学分支是完备的，那就意味着，其中的任何一个有意义的陈述都可以被证明或者证否。哥德尔证明了，在数学的任一分支中总会有一些有意义的命题既不能被证明，也不能被证否。他称这些命题为不可判定陈述。这就是确定性消失的主要原因。哥德尔的证明是关键。
库尔特·哥德尔（1906年4月28日－1978年1月14日），出生于奥匈帝国的数学家、逻辑学家和哲学家，维也纳学派的成员。其最杰出的贡献是哥德尔不完备定理和连续统假设的相对协调性证明。OMNI：如果数学不是真理，如果数学充满了矛盾和不确定性，那为什么数学这么有用呢？
克莱因：这个很难讲，也许数学就是有用而已。我们关于数学的可靠性——不是确定性——的唯一测试是它可以被用在物理问题中并做出预测。如果预测成功，那么我们就可以说，数学具备现实基础，但不是确定性。人们总是情不自禁地被数学所取得的成果而打动。比如向月亮发射航空飞船，整个任务都是数学的工作。当然，这里面会有大量的工程方面的技术，比如得有修建航空飞船的技术，但是整个发射计划的核心都是数学。我们有关于太阳、地球或者其他天体的理论，我们知道这些天体的运行轨迹和万有引力相关，但是根本没有人见过万有引力！我们对万有引力的物理基础一无所知，只是发现了它的数学表达而已——万有引力是科学虚构出来的。
OMNI：如此说来，那电和磁是不是也一样？
克莱因：确实。人人都见过电视机，也都知道收音机，但恐怕没人了解电波是啥东西。因为它既没有味道，也没有声音。多亏了19世纪的数学物理学家麦克斯韦尔，我们才有了关于电磁的完美的数学理论。这个理论之所以完美的证据就是我们生活中的收音机和电视机等。因此，我们要么承认数学是有用的，要么就得把收音机或者电视机扔掉。
OMNI：自从确定性消逝之后，数学家们都转而去研究物理问题了吗？
克莱因：不，他们没有。今天的大多数（也许是90%的）数学家所做的工作是徒劳的。这是我自己的观点，也是很多远比我有创造力和知名度的数学权威们的观点。
OMNI：您能举一个说明数学研究是徒劳的例子吗？
克莱因：比如说，数论的一些问题研究就是徒劳的。取一质数对（doubleprimes）。它们是数列中的质数，例如11和13。偶数当然不是质数。这些质数对能有多少组？有三重质数吗？关于这些主题的论文层出不穷。可是，谁在乎呢？
说到论文，我在自己的一本书中建议，在一份受人尊敬的期刊上发表的每一篇论文都应该有作者的前言，里面需要表明作者为什么要发表这篇文章，以及他认为这篇文章有什么价值。我对自己的这个建议并不抱太大希望。
OMNI：您是否觉得那种“不发表就完蛋”的学术体制应该为数学的这种境遇负责呢？
克莱因：从某种程度上来说，是的。如今，很少有哪位卓越的数学家不是在大学里工作的。但以往并非如此。莱布尼茨和笛卡尔就从来没有大学的职位。在“不发表就完蛋”的规则下，现在的很多数学家，比如所有的大学教授，承担很大的压力。既然得发表文章，那么最容易的办法就是在“纯数学”方面找论题，因为“纯数学”不需要他去了解物理学等其他方面的科学知识。结果就是，他的论文所谈的可能是一个非常狭窄的领域，要知道数学的分支有好几百个呢！
如果你当面批评这些人，他们可能会说：“纯数学是充满激情、美感和挑战性的！”但是对于这番言辞，我是不大相信的，我琢磨着他们之中能有百分之十的人真的那么认为就很了不得了。
OMNI：听起来，数学很像下棋或者打牌。激情、美感和挑战性，都能用来形容这三项活动吧。
克莱因：对啊。我很高兴你这么说。的确有人很喜欢下棋，甚至一辈子都在研究棋谱。但无论他把棋谱研究得多么出神入化，他不会带给世界任何改变。现在的很多数学家研究的东西可能比下棋要深入一些，但本质上是一样的。
OMNI：现在还有什么仍需解决的物理问题吗？
克莱因：嗯，好的。我举一个目前还没有解决的而且很可能在不远的将来也无法解决的物理难题——三体问题。简单来说，如何用数学方程去精确地预测由地球、月亮和太阳组成的系统的运动轨迹的问题，现在依然是束手无策。你需要写下一系列描述各个天体运动轨迹的方程组，但这些方程组目前还无法解开。很多最优秀的数学家已经在这个问题上相继钻研了近三个世纪了。
另一个例子是弹性。早在几百年前，伽利略就开始研究这个问题了。弹性，现在是数学的一个分支。我们需要用数学来计算梁和柱的强度——以便了解它们什么时候会断裂，什么时候会倒塌。让我惊讶的是，在我们对弹性如此无知的情况下，工程师们竟然敢建造80层高的大楼。这又是一个涉及微分方程的问题。
OMNI：我们来谈谈数学教育的问题吧。您觉得“不发表就完蛋”的体制是大学的主要问题吗？
克莱因：这肯定是一个很重要的问题。教授和想要成为教授的人，都面临学术论文的压力，而这会占用相当多的时间和精力。有些人甚至为此而耽误了教学的工作：他们备课不充分或者甚至干脆不备课，上课时随心所欲地谈谈他们正在研究的东西，而不去讲上课的材料。此外，大学也一直让部分研究生去给本科生上课，在部分大学里，大课的教学助理经常是研究生来担任。这根本就不算教学。
拿微积分来说，它是一个应用型的领域。微积分本身没有什么美感可言，它就是一个解决科学问题的工具而已。然而很多数学教授对科学领域知之甚少。其结果是，他们害怕选择那种带有很多科学案例的微积分教材，担心万一被学生问倒了就尴尬了。他们害怕尴尬，但也不愿意花时间去了解科学。
OMNI：那么小学——高中的数学教育什么情况呢？
克莱因：我认为，从我们这个国家（美国）在小学开设数学以来，数学教育——尤其是课程安排——非常不合理。值得一说的是，数学过去只在大学里教，即便是算术也是。
我对小学数学教育的主要批评在于，这些课程对学生是没有意义的。老师们只被训练来教授数学技巧，而他们甚至都没有真正理解这些东西。假设一个糖果卖5美分，三个卖多少钱？我认为一个学生必须相信，任何超过解决这种问题的数学技巧都是毫无意义的。有解决问题的意识是很重要的，但问题必须是学生感兴趣的。有些问题，比如挖一条沟，A需要6天时间挖完，B需要8天时间挖完，那么两人一起挖需要多少时间，这种问题究竟有什么意义呢？
讲究这种实用性、价值感，对于高中的学生而言是非常重要的。学生在高中一般会学习代数、几何、三角函数。可是学这些东西有什么用处？我曾问很多高中的老师，问他们这辈子有没有在课堂之外用过二次方程。答案总是没有。
OMNI：“新数学”运动不是改变了这种课程设置吗？
克莱因：“新数学”运动的倡导者们确实做出了一些改变。他们认为数学教育需要改进，这个方向是对的，但却用错了方式。这些倡导者中的许多是大学教授，他们没有中小学教学经验，因此很难以中小学生能够理解的方式来讲授数学。这就是“新数学”运动失败的原因。这也是为什么我在“新数学”运动开始的时候就反对它的原因。现在的教学重点回到了基础课程，但主要是以前的课程设置，时不时地会有一些新的东西，但总体来看意义不大。
赫尔曼·魏尔（1885年11月9日－1955年12月8日），20世纪最有影响力的数学家之一，他表过的作品涉及时间、空间、物质、哲学、逻辑、对称性和数学史。他是最早把广义相对论和电磁理论结合的人之一。OMNI：那是否可以说，数学就是一门复杂的学科呢？
克莱因：数学有可能是最难的学科。我最喜欢的一句话来自伟大的数学家赫尔曼·魏尔。他说，关心数学不是人类的本性，数学如星光一样灿烂、明晰，但却冷峻无情。我认为他说的是对的。当然，有些人或许受了一位非常好的老师的影响，从而把精力投入数学，但他们却不知道为什么要学数学。这些人就是我们所说的“好学生”。然而，如果一个人不加反省地就接受了对他而言没有意义的东西，那他还是好学生吗？大多数学生是反感数学的，一旦完成了必修课，他们巴不得立刻跟数学拜拜。然而，如果在教学中，我们能让数学的价值和它与生活的相关性结合起来，我相信恐怕没有人会讨厌数学的，甚至可能会从此喜欢上数学。