《算术基础》是一本由G.弗雷格著作，商务印书馆出版的简裝本图书，本书定价：14.00元，页数：123，文章吧小编精心整理的一些读者的读后感，希望对大家能有帮助。
《算术基础》读后感(一)：欧氏几何是一剂毒药
我读这本书的初衷是想了解到底什么是1的，可是最终并没有得到明确的答案。本来以为是一本数学书，看下来却发现是本哲学书。但是并不应为此感到失望，因为我得到一个问题，即我们是否可以认识我们的认识。
欧氏几何是一剂毒药，让人们错以为可以用同样机械而严密的公理化方法来认识所有的科学，以为变换其中的一个公设就可以一步迈进一个新的世界。弗雷格受了诱惑，但是他在完成这本书的时候就应该意识到，在他试图这么做时候他正设法去认识的恰恰是人们的认识，而这恰恰是最危险的。哥德尔没有被迷惑，却也在挑战中受了伤，在其完成一生最辉煌的成就之后向前一步就被卷入哲学，终于再也没有回来。
虽然很难精确的描述自己的认识，但是我开始怀疑任何脱离直觉的结论。零和无穷应该是脱离人的直觉的，它们是思维的加工产物。虽然零和无穷的引入开辟和完善了众多理论，但是也正是它们导致的悖论颠覆了很多大厦。
读起来文字不是很通畅，可能是哲学书的共性。书的德文名字有一个错误 DIE GRUNDLAGEN EDR ARITHMETIK中的ERD应该为DER.
《算术基础》读后感(二)：这本书到底是在说什么呢？
说实在，这本书自从买来已经放得够久了，首先，我也不知道为什么要买。既然买了，就看吧。
放了很久，这两天抓紧时间在地铁上终于算是看完了，但是，这本书到底在说什么呢？虽然在序里面有人说这是最完美的一本哲学著作，但我显然不敢苟同。
就我理解来看，这本书主要是在说三句话：
2 数也不是心灵的主观产物。
3 数只是一种概念的外延(在我这里，我更认为是一种约定论，因为作者后来用来说明i的平方为-1)
这里第3点是这本书的核心，说实在，也是我没有弄清楚的所在，我只是简单的理解为，数是实体的关系，是约定的产物。
不知道对不对，希望反驳。
《算术基础》读后感(三)：一些感悟
數字只有依存於概念才有意義，概念是算數學得以成立的根基。同樣，文字的意義只有落到某個概念之下才有真假函項。一旦對某實體進行了概念化處理，那它在邏輯上則既可真亦可假。語言的本質就是遊戲。所以，數字和語言是分析的先驗判斷，運用形式邏輯可對其進行分析。弗雷格說康德數是個算數庸才，在理！
要讀懂這本書，需要對笛卡爾、洛克、萊布尼茨、康德、密爾的哲學思想有一些瞭解。在此基礎上，跟隨弗雷格條分縷析的闡釋，運用高中的數學知識尤其是函數知識進行抽象思考，慢慢就能找到感覺！
讀懂這本書，才可能真正理解分析哲學想幹什麽！
顺着Frege的思路重新推导了一下第四小节里定义数字的方式，用英文是因为意思比较清楚，也是为了自己看笔记。可以推测， frege的推导为现代计算机语言提供了原型。他的主旨是，我们不需要知道数字本质上到底是什么，也不需要知道人是怎样发现数字和算数法则的。我们只需要一套稳定的定义，一套规则来遵循，数字和算术法则就能够被当作一套完全机械的程式来用。frege理论的基础是概念，也就是下文中的concepts。要说成功之处的话，计算机的发展已经让这个问题无需质疑。但是问题是，假设没有人类，概念存在的意义是什么呢？概念还有意义(Sense/Sinn)吗？假设机器并不能理解真／假的区分，只是纯粹根据电路来执行程式而已，它们能懂逻辑的意义吗？
短评中有把frege的理论理解成2=1+1，或者数字是由数数或者从直觉而来，或者是从现实世界里的物体抽象化而得到的——这些说法都是错的，恰恰是frege想要推翻的理论。frege想说的是，无论数字和算数法则是怎样发现的，现在我们就是可以发明这一套客观严格的体系来让一台完全没有感知的机器来做算数。
Frege’s basic terminology: logic includes all denoting expressions. Its elements include simple/complex denoting objects such as “π,” or “John,” and sentences;
What does “falling under a concept” mean？ For Frege, concepts are functions which map every argument to a truth value (The True or The False). For example, the sentence “( ) > 2” denotes the concept “being greater than 2.” The verb phrase “is prime” is a function P( ) that maps all primes to The True and others to The False. “Falling under a concept” means a simple predication. Given the sentence “John is happy,” “John” falls under the concept “( ) is happy.” (from SEP)
the extensions of a concept F are objects which F maps onto “the true.” Objects fall under concepts, s.t. sentences are true; extensions refer to the objects that produces true statements.
ote: this component of predication in logic also underlies Kant’s epistemology.
tep 1
To define a number, one first needs to define equality. Number symbols are invented because there is such a need for designating them whenever concepts are equinumerous. Frege’s definition of equinumerosity (gleichzahlig, translated into the simple “equality” in Austin’s translation) follows from Leibniz’s: “things are the same as each other, of which one can be substituted for the other without loss of truth.”
Frege first offers a possible (but wrong) way of defining 0 and 1: 0 belongs to the concept that does not have any object falling under it; 1 belongs to the concept F, if: if the statement that a does not fall under F is not true universally, and if a and b both fall under F, a = b. Then by induction one can define (n + 1) in the following way: if there is an a falling under F, and if n belongs to the concept “falling under F, but not a.”
This is not feasible because it is not clear what “belonging to a concept” means. Also there is no way to prove that the number thus obtained is unique. We cannot prove if a and b belongs to the same concept, a = b. In fact one has only specified the usage of “n belongs to” but not the number itself. One cannot judge if “Julius Caesar” belongs to a concept. One cannot recognize the same number again. Number thus defined is only a property of a concept.
Therefore, the first step toward defining a number is defining equinumerosity, so that in different propositional contexts, the same number can be recognized.
How to define equality
Equality is defined as the equality of extensions, i.e., objects that map concepts to The True.
Definition: the extension of the concept “equal to the concept F” is identical with the extension of the concept “equal to the concept G” if and only if the number that belongs to F and G are the same.
More specifically, this means that every object that falls under the concept F stand in relation φ with every object that falls under the concept G. In other words, for every a falling under F, a stands in relation φ with an object b falling under G; for every b falling under G, there is an a falling under F such that φ(a) = b. This is a 1-1 correlation. If concepts F and G are equinumerous, then the extension to “equinumerous to F” and “equinumerous to G” are the same—we say the same number belongs to F and G. Because numbers are defined as extensions, they are objects. But the extensions to “equinumerous to concept F” would also be concepts. Therefore, numbers are concepts used as objects in propositional functions, as mentioned in the footnote on page 80.
Therefore, equality is a relation between sets, that is between objects falling under two different concepts. Equality or equinumerosity is recognized and 1-1 correspondence is a mechanical process, resembling the waiter lying down forks to knives without being aware. This would allow Frege to establish the relation of equality as a relation independent of the human mind.
tep 2
How to define 0 and 1
0 is the extension of the concept “equinumerous to the concept ‘not identical to itself’”—there is no object falling under the concept “not identical to itself” so that 0 is the extension (all concepts) that has no object falling under it.
Here the specification of the concept “not identical to itself” is somewhat arbitrary, but it is convenient because we know that there is definitely such a concept which would make “( ) is equinumerous to the concept ‘not identical to itself’” a true statement.
ow we know that 0 exists. So we can specify the concept “identical with 0”—we know that 0 is identical with 0. So there is one object, 0, that falls under the concept “identical with 0.”
1 is the extension of the concept “equinumerous to the concept ‘identical with 0’”—so the set of all objects/concepts that are equinumerous to “identical with 0” which has one object falling under it.
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How to prove that 1 follows 0
define “n follows m” as: if the number n belongs to the concept F, i.e., m is the extension of “equinumerous to F,” and given an object x falling under the concept F, then the number that m belongs to “falling under F but not x,” i.e., m is the extension of “equinumeros to ‘falling under F but not x,’” then we say that n follows m.
does 1 follow 0？ 1 belongs to the concept “identical with 0.” There is an object falling under “identical with 0,” the object 0, and so the concept “identical with 0 but not 0” has no object falling under it. This concept is equinumerous to “not identical with itself” and 0 belongs to this concept. Therefore, 1 follows 0.
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how to define the rest of the natural numbers？
define the natural number series in such a way that every number except 0 follows directly after a number.
if
1. φ(x) falls under F
2. if d falls under F, it is universally true that every φ (d) falls under F
then we know that y = φ(x) follows x in the φ series.
tarting from x, we would transfer our attention one by one to objects that stand in relation φ to x.
Q: How does one transfer the “n follows m” to the relation φ？
《算术基础》读后感(五)：小摘要
序言
什么是数？
1)一这个数是什么？如果回答“是一个事物”是说不通的。
例：1+1=2中，是无法用“月亮”这样的对象两次带入1。
2)反对用心理学的概念来理解。
3)弗雷格的研究原则：
①心理学和逻辑学、主观的与客观的要区别开来。
②在句子的联系中研究语词和意谓，而非个别区分开来研究。
③时刻看到概念和对象的区别。
§1—4
数学的本质在于，凡可以证明就不用归纳，证明的目的在于使一个句子的真理摆脱怀疑，而且提供句子的真之间相互依赖性的认识。
§5—17 一些著作家关于算术基础的性质的意见
一，数学公式是可以证明的吗？
驳康德：
2+3=5 涉及确定数的数学公式与对所有整数都有效的普遍规律要区别开来。
2+3=5 是明了的，而135644+37863=173527却可以证明。
问题在于二者之间的界限在何处？到哪个数字就开始摆脱了明了而需要证明了呢？
驳莱布尼兹：
2+2=4 不是直接为真，而是假定4=3+1
可证：定义 1)2是1加1
2)3是2加1
3)4是3加1
公理：如果带入相等的数，等式保持不变。
证明：2+2=2+1+1=3+1=4
所以，根据公理2+2=4
弗雷格认为莱布尼兹的证明缺少了一步。
2+2=2+(1+1)=(2+1)+1=3+1=4
H 格拉斯曼/H 汉克尔：如何解释437986这样的数？
数的无穷集合可归纳为1加1，无穷多的数学公式由几个普通句子可证明：
a+(b+1)=(a+b)+1
即a+(b+e)=a+b+e
问题在于：1)和是通过自身被解释的；人们不理解a+b，就不会知道a+b+e意谓着什么。
2)假如不用和来解释，而用加法来解释，如果没有基本序列项，该如何解释a+b？
驳J.S.密尔：
密尔认为一切知识来自经验，故而数的定义不是逻辑上的，它不仅确定了表达式的意谓，还断定了一个观察列的事实。
问题在于：该如何解释0？
相应物理事实可以只用10以内的数，而其他则可以构造。
问题在于：既然11可以用1和10构造，为什么2不能用1加1来构造，而依赖观察呢？
二，算术规律是归纳的真命题吗？
驳J.S.密尔：
“+”密尔以为通过该符号表达了一个物理体诸部分与整体之间的关系。
问题在于：在物理学和几何学的意义之外，无法再应用。
莱布尼兹的观点：数和几何不同，数是量方面不同，也不相像。
我们将数看做同类，仅仅在于我们知道了一系列对数都普遍有效的句子，数是非时空性的。
归纳依靠概率，但没有对数的基础进行研究；概率也不可靠。
三，算术定律是先验综合的还是分析的？
驳康德：算术是先验综合。
先验综合需要借助直觉，但算术与几何不同。几何中看到的点、线、面可作为属的代表，但数不能。每一个数都具有其独特性，而且数的思考可以摆脱直观。
算术是分析的。
但莱布尼兹的问题在于：以为真命题可证明，然而算术到底是依赖于分析的。
§18-28 一些著作家关于数的概念的看法
一，反对人们在几何中将数理解为长度或平面的关系数。
驳牛顿：将数理解为每一个量与另一个被看做单位的同类量之间的抽象关系。
问题在于：在广义上恰当了描述了数，但是将算术本身以一个几何学的概念不够用
数本身是可以定义的。
数是外在事物的性质吗？
驳康托尔和施罗德：前者认为数学是一门经验科学；后者通过一来摹写单位，按现实构造数。
问题：颜色和数不同，前者不依赖于我们的任意理解。数也不可简单地作为谓词被赋予。
驳密尔：数的性质属于我们用之称谓的事物的集聚。
问题：分解一种聚集有多种方式。
符合的数与符号表达之物可以不必吻合。
二，数是主观的东西吗？
驳李普希兹：从特定事物开始，并加上一个新事物来获得对某些事物的概观。
问题：数不是心理过程中的结果，而是客观的。
但客观的并不等于是可触摸的、空间的货是现实的。而是合乎规律的、可判断的、概念的。能够用语言表达的。客观性不依赖于我们的感觉、表象和直观。
驳施罗埃密尔西：数是一个对象在一个系列中的位置的表象。
问题：数不是心理学。
§19-54 关于单位和一的看法
一，“一”这个数词表达对象的一种性质吗？
“一”不能做形容词。
外延增加时，没喊就减少。如果外延包罗万象，则内涵就消失。
莱布尼兹：一是我们通过一种行为把握的东西。
驳：我们也可以通过一来把握多。
鲍曼：一是我们理解为一的东西。
驳：“一”允许依据内心自觉，又以不可分性和分解性为标志；那么动物也会有类似意志，而这必然不是概念的本质。
二，单位彼此相等吗？
单位彼此相等（霍布斯、休谟、托迈）
驳：猫的例子（略）。
相等对于数有何意谓？事物的性质不等于事物的数。
单位彼此不相等（杰芬斯：硬币例子。如果单位都是相等的，我们就会取消多的概念。）
问题：
杰芬斯的例证 5这个符号意谓1+1+1+1+1，而且他们各不相同，可写作1’+1’’+1’’’+1’’’’+1’’’’’
但倘若如此，人们为何非要写1’+1’’+1’’’+1’’’’+1’’’’’，而不写a+b+c+d+e？
其窘境在于：我们必须有相等，所以必须有1,；必须有差异，所以必须有小撇（’）。但是小撇又扬弃了相等。
洛克、莱布尼兹、黑塞：单位和一意谓相同的东西。
问题：“一这个数”并且以定冠词意谓科学研究的一个确定的唯一对象，1作为一个专名，不能有变数。那么3-2=1按照杰芬斯的观点可以做如下解释：(1’+1’’+1’’’)-(1’’+1’’’+1’’’)=1’
但如何解释：(1’+1’’+1’’’)-( 1’’’’+1’’’’’) ？
如果用不同的事物取代总是相同的1，就会取消算术。
复数对于概念词才是可能的。
如果人们将单位理解为包含1并只包含1的概念，那么复数就没有意义也不会有莱布尼兹复数的概念。
困难在于：如果1表示着每个计数的对象，这就是错误的（不同东西有相同的符号）；如果加上有区别的符号，就会取消算术。
三，克服这个困难的尝试：
尝试1：借助时空的性质。
驳：（如果借助空间）全等的几何图形无法区别，只能借助它们作为总体的组成部分才有可能；（如果借助时间）没有时间，单位也是可以想象的。
尝试2：以一个普遍的序列来取代对时空的理解。
驳：序列之中的位置不成为区别对象的根据，而必然是先有区别，才有排列。
尝试3：施罗德 以一来仅仅描述一个对象，一个自然数是诸1之和。
杰芬斯 无名数是差异的空的形式。
驳：要么在事物组成整体之前抽掉各自的性质，要么组成整体再抽掉。如何处理0的情况？
困难的解决：
之前各种举例反驳的结论：
数不是从事物抽象颜色、硬度那样抽象出来的；不是物理的、不是主观的、不是表象；不是事物添加事物得到的。
多、集合、众多不可解释数。
可分性、不可分性、不可分解性不能来标志1。
单位和1之间要做出区分。单位具有相等性和不可区分性两种矛盾的属性。
数的给出包含着对一个概念的表达。
概念是互斥的（只要给出真正的承载者），数也是互斥的。
斯比诺莎的佐证：
一个普通的概念词恰恰表达一个概念，只有带定冠词和指示代词时，它才能被看做是一个事物的专名。故而此时就不能再将其视为一个概念词了，一个对象不会反复出现，而是许多个对象处于一个概念之下。概念不是通过抽象就获得的。
把单位概念成为属于它的数有关的单位是最适宜的。
单位的矛盾属性的解决：在解释词意义上是相等的；而不可区分性意谓被计数事物。
§55-88 数这个概念
一，每个个别的数都是一个独立对象。
数具有独立性，不同于一般的定语或者谓语。
二，为了获得数这个概念，必须确定数的相等意义。
我们不可能获得有关数的表象和自觉；但因为数次是一个独立的对象，以此我们得到一累必然有意义的句子，即可表达出重认的句子。
休谟：数必须借助一一相等来定义。
定义如下：适合F这个概念的数是“与F这个概念等数的”这个概念的外延。
“与F这个概念等数的”这个概念外延与“与G这个概念等数的”这个概念外延相等，当且仅当同一个数既属于F这个概念，有属于G这个概念时为真。
三，对定义的补充和说明：
F这个概念与G这个概念是等数的≡存在一种关系ψ，它使出于F这个概念下的F的与对象处于G之下的对象一一对应。
是一个数≡存在一个这样的概念，n是属于它的这个数。
0是适合于“与自身不相等”这个概念的这个数。
自然数序列中每两个相邻项的相互关系：
在一个概念F下和处于它之下的一个对象x，是的属于F这个概念的数是n，而属于“处于F之下但等于x”的这个概念的数是m≡n在自然数顺序中紧跟着m。
对于每个数，都存在另一个数，他在数序中紧跟前者或者前者在数序中紧跟它。
除0以外，每个数都在自然数系列中紧跟一个数。
证明：对自然数系列的每一个数（n），都有一个数紧跟。
（后一个数所属于的概念是：属于以n结束的自然数的序列的项。）
如果x与之有ψ关系的每个对象都处于F这个概念之下，而且，如果由d处于F这个概念之下普遍地得出，如论d是什么，d与之有ψ关系的每个对象都处于F这个概念之下，那么y就处于F这个概念之下，无论F可能表示出什么概念。
等价于：y在ψ这个序列中紧跟x；x在ψ这个序列中在y之前。
a是属于“隶属以a为结束的这个自然数序列但不等于a”这个概念的数。
任何隶属以0开始的这个自然数序列的对象在这个自然数序列中都不能跟着自己。
∈以0开始的自然数序列 ≡ n是有穷数。
四，无穷数
§结论 87-109
数不是事物的堆集，不是心灵的主观产物。
数的给出表达概念的某种客观的东西。
不能孤立地理解一个词的意谓，而必须在句子的联系中解释它。
重认句对于每一个对象都有意义，在数的情况中叫做等式。
————
对于我这个文科狗来说，这篇读书笔记或许看起来漏洞颇多。但还是厚着脸皮把摘要写出来，以此献给大强男神给我解释后续概念时温暖的笑容。
《算术基础》读后感(六)：弗雷格论通过考察证明来区分先天与后天，分析与综合
弗雷格视证明为一个从基本真理得出其他算术真理的过程。为什么要这么做？弗雷格给出了两点动机，一是严格性，二是说明算术真理究竟是先天的还是后天的，综合的还是分析的。
对弗雷格而言，考察一个命题的分析或综合，先天或后天，取决于对它的证明。如果对它的证明具有最少的普遍性，那么这样一个证明将依赖于经验事实，这些事实是独特的、不可证明的，因而不是一般的。求助于经验事实是证明一切后天真理的手段。不用求助于经验事实就可以被证明的真理是先天的，这一先天真理要么是分析的，要么是综合的。
一个真理是综合的，当对它的证明要用到一些特殊科学中的真理，而不是只运用一般逻辑真理。弗雷格认为欧几里德几何学的真理就是先天综合的。它是综合的，因为它的公理不是从一般逻辑真理中导出的而是特殊科学，即它只关于空间图形；它是先天的，因为它不是关于特殊经验事实的真理，而是一般的。
分析真理则可以通过只运用一般逻辑法则与定义就得到证明。对分析真理的证明是最一般的证明。
要确认对一个真理的证明是否是最一般的，即考察对它的证明是不是只是看起来像是只用到了一般逻辑法则与定义，而实际上却隐含地假定了一些非逻辑的法则或定义。这项工作是“找到对一个命题的证明，并一路追溯到基本真理。”在这样一个寻找证明的过程中，弗雷格说：
我们达到这样一些不可以被证明的命题，如果这些命题中的概念不能被成功地分析为更简单的概念，或不能将它们还原为更具一般性的法则或定义。于是，对数的分析将表明，它要么可以被进一步定义，要么将被视为不可定义的。
如果从基本定律证明算术真理的哲学企图在于区分先天后天、分析综合的话，我们需要一些合适的条件来确认什么是基本定律。一个显然的条件是，它的真是不证自明的。或者我们需要一些不考察证明的手段来直接确认证明所依赖的东西是关乎特殊科学的还是一般逻辑定律，还是只是一个经验事实。总之，如果可以对算术真理进行这样一个准确的哲学区分的话，肯定有某种方法来区分证明这些算术真理所依赖的基本定律。
一个例子：每一对象都与自身同一
它是不证自明的，所以符合以上给出的第一个条件。假设这就是一个基本定律，那它是分析的吗？在《算术基础》中，弗雷格提到的分析真理的两个特征：
一是最大化一般性。“分析真理不仅包括事实上的、可直观的东西，而且包括所有能被思考的东西。”
另一个特征是，如果我们否认分析性，将“使我们在演绎中不可避免地陷入矛盾。”
算术基本真理的分析性在于，如果我们否认它们，我们会陷入“完全的混乱。就算思考也会变得不可能。”
“每一对象都与自身同一”同时具有这两个特征。首先，这一定律不仅仅是关乎事实上的时空中的或其它可以被直观到的对象的，而且包括所有对象。其次，否认它将使我们陷入矛盾。所以，这一定律是分析的。几何学公理是综合的，因为我们可以假设一些相反的公理而不使我们的思想陷入矛盾。
弗雷格认为关于数的基本真理是分析的。这看起来是违反我们之前对分析性的要求的。首先，数1，是一个特殊对象。关于数的定律看起来也不具有最大的一般性，它们似乎只是数这个领域的特殊定律。数学推理似乎是一种有别于其它推理的非常特殊的推理。要证明算术真理是分析的，弗雷格需要只用逻辑概念、定义和定律来定义数1和数的概念。